Как найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике

Отвечая на вопрос, как найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, чаще всего применяют теорему Пифагора: гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов обоих катетов. Если вместо второго катета известен острый угол, гипотенузу находят через отношение катета к синусу противолежащего угла или к косинусу прилежащего угла. Оба способа дают одинаковый результат, если данные треугольника согласованы между собой и не противоречат друг другу.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Разбор по случаям

Примеры

по двум катетам. Дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см.

По теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Гипотенуза равна $10$ см, а стороны образуют известную египетскую тройку $6$-$8$-$10$, которую удобно запомнить наизусть.

по катету и углу. Дан катет $a = 9$ см, противолежащий ему острый угол равен $30^\circ$.

Так как $\sin 30^\circ = 0{,}5$, гипотенуза равна $c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{9}{0{,}5} = 18$ см.

Второй катет при желании можно найти отдельно по теореме Пифагора или через косинус того же угла.

Частые ошибки

• Складывают катеты напрямую вместо их квадратов, забывая про теорему Пифагора целиком.
• Делят катет на угол вместо синуса или косинуса этого угла в тригонометрической формуле.
• Путают, какой угол прилежащий, а какой противолежащий, и берут поэтому не ту функцию угла в расчёте.

Коротко

Чтобы понять, как найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, чаще всего используют теорему Пифагора, а при известном угле — тригонометрические отношения синуса или косинуса. Оба способа приводят к одному и тому же числу, если исходные данные треугольника не противоречат друг другу и заданы корректно.