Что такое чётная функция

Чётная функция — это функция, для которой при любом x из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x): значение в точке -x совпадает со значением в точке x. Что такое чётная функция, видно уже на графике — он симметричен относительно оси ординат, левая половина зеркально повторяет правую. Область определения такой функции обязательно симметрична относительно нуля.

$f(-x) = f(x)$

Разбор по случаям

Примеры

Проверка функции x в квадрате. Подставим $x = 3$: получаем $f(3) = 9$. Теперь подставим $-3$: $f(-3) = (-3)^2 = 9$. Значения совпали, значит равенство f(-x) = f(x) выполняется, и функция чётная. График такой функции — парабола с вершиной на оси ординат, симметричная относительно неё: правая ветвь при $x = 3$ и левая ветвь при $x = -3$ проходят на одинаковой высоте.

Проверка функции x в кубе. Подставим $x = 2$: $f(2) = 8$. Теперь $f(-2) = (-2)^3 = -8$. Значения оказались противоположными по знаку, а не равными, поэтому равенство f(-x) = f(x) не выполняется и функция не чётная — она нечётная. Пример показывает, что не всякая степенная функция подходит под определение чётности, важен именно показатель степени.

Частые ошибки

• Считают чётной любую функцию с чётным числом в формуле, не проверив равенство f(-x) = f(x) на числах.
• Забывают, что область определения обязана быть симметричной относительно нуля.
• Путают чётность функции с чётностью показателя степени и не замечают слагаемое с нечётной степенью в той же формуле.

Коротко

Что такое чётная функция, определяет одно равенство: f(-x) = f(x) для каждого x из симметричной области определения, а на графике это видно как зеркальная симметрия относительно оси ординат. Проверка сводится к подстановке -x в формулу и сравнению результата с исходным значением функции.