Что такое чётная и нечётная функция

Чётная функция — это функция, для которой при любом x из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x), а нечётная — та, для которой выполняется f(-x) = -f(x). Что такое чётная и нечётная функция, видно на графике: у чётной он симметричен относительно оси ординат, у нечётной — относительно начала координат. Область определения в обоих случаях обязана быть симметричной относительно нуля.

$f(-x) = f(x);\quad f(-x) = -f(x)$

Разбор по случаям

Примеры

Проверка чётной функции на примере y = x². Возьмём функцию $f(x) = x^2$ и подставим $x = 3$: получаем $f(3) = 9$. Теперь подставим $x = -3$: $f(-3) = (-3)^2 = 9$. Значения совпали, равенство f(-x) = f(x) выполняется, значит функция чётная, а её график симметричен относительно оси ординат.

Проверка нечётной функции на примере y = x³. Возьмём функцию $f(x) = x^3$ и подставим $x = 2$: получаем $f(2) = 8$. Теперь подставим $x = -2$: $f(-2) = (-2)^3 = -8$. Значения оказались противоположными по знаку, равенство f(-x) = -f(x) выполняется, значит функция нечётная.

Частые ошибки

• Проверяют равенство только на одном числе и делают вывод о чётности всей функции, не рассмотрев область определения.
• Путают чётную функцию с нечётной, ориентируясь на чётность показателя степени, а не на настоящую проверку f(-x).
• Забывают проверить симметричность области определения относительно нуля и ошибочно относят функцию к чётной или нечётной.

Коротко

Что такое чётная и нечётная функция, определяют два равенства: f(-x) = f(x) для чётной и f(-x) = -f(x) для нечётной, при этом область определения обязана быть симметрична относительно нуля. Графически это выражается в симметрии относительно оси ординат у чётной функции и относительно начала координат у нечётной.