Что такое квадратичная функция

Квадратичная функция — это функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a$, $b$, $c$ — числа, а $a$ не равно нулю. Что такое квадратичная функция, определяет старший коэффициент $a$: он стоит при переменной во второй степени и делает график функции параболой, а не прямой линией. Ветви параболы направлены вверх, если $a > 0$, и вниз, если $a < 0$, а вершина параболы задаёт наибольшее или наименьшее значение функции на всей области определения. Коэффициенты $b$ и $c$ сдвигают параболу влево-вправо и вверх-вниз относительно начала координат.

$y = ax^2 + bx + c, \; a \ne 0$

Разбор по случаям

Примеры

Построение графика простой квадратичной функции. Функция $y = (x-4)^2$ квадратичная, потому что старший коэффициент при $x^2$ равен единице и не равен нулю. Вершина параболы находится в точке $(4; 0)$, а ветви направлены вверх, так как $a = 1 > 0$. При $x = 2$ значение функции равно $y = (2-4)^2 = 4$, поэтому точка $(2; 4)$ тоже лежит на параболе.

Функция с ветвями вниз. Функция $y = -2x^2 + 3$ тоже квадратичная, но её старший коэффициент отрицательный: $a = -2$. Ветви параболы направлены вниз, а вершина находится в точке $(0; 3)$ и задаёт наибольшее значение функции. При $x = 1$ значение функции равно $y = -2 \cdot 1 + 3 = 1$, что меньше значения в вершине.

Частые ошибки

• Считают квадратичной любую функцию с переменной, забывая проверить, что переменная стоит именно во второй степени.
• Полагают, что коэффициент a может равняться нулю, хотя тогда функция становится линейной, а не квадратичной, и график перестаёт быть параболой.
• Путают направление ветвей параболы, забывая, что именно знак коэффициента a определяет, куда они направлены.

Коротко

Что такое квадратичная функция, определяет формула $y = ax^2 + bx + c$ с ненулевым коэффициентом $a$ при переменной во второй степени. Графиком такой функции всегда служит парабола, направление ветвей и положение вершины которой зависят от значений всех трёх коэффициентов.