Что такое показательная функция

Показательная функция — это функция вида $y = a^x$, где основание $a$ — положительное число, не равное единице, а переменная $x$ находится в показателе степени. При $a>1$ функция возрастает, при $0<a<1$ — убывает, и в любом случае её значения остаются строго положительными. Разбирая, что такое показательная функция, важно не путать её со степенной функцией $y=x^n$, где, наоборот, переменная стоит в основании, а показатель постоянен и не меняется вместе с аргументом функции.

$y = a^x, \text{ где } a > 0, a \neq 1$

Разбор по случаям

Примеры

Возрастающая функция. Функция $y = 2^x$ показательная, потому что переменная стоит в показателе степени, а основание $2$ больше единицы. При $x=0$ значение $y=2^0=1$, при $x=3$ получается $y=2^3=8$, а при $x=10$ уже $y=2^{10}=1024$ — рост ускоряется с каждым шагом. Такой график проходит через точку $(0;1)$ и никогда не опускается ниже оси $x$, потому что степень положительного числа всегда положительна, сколько бы ни увеличивался показатель степени.

Убывающая функция и распад. Функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ тоже показательная: основание $0{,}5$ лежит между нулём и единицей, поэтому график убывает.

При $x=0$ значение $y=1$, при $x=1$ получается $y=0{,}5$, при $x=2$ — $y=0{,}25$, и так далее значение стремится к нулю, но никогда его не достигает. Такой убывающий график описывает, например, радиоактивный распад или остывание тела: величина уменьшается вдвое за каждый одинаковый промежуток времени.

Частые ошибки

• Показательную функцию путают со степенной, забывая, что переменная стоит в показателе степени, а не в основании.
• Считают, что график показательной функции может пересекать ось x, хотя значение функции всегда строго положительно и оси не касается.
• Основание функции берут равным единице или отрицательным числом, хотя по определению основание должно быть положительным и не равным единице.

Коротко

Итак, что такое показательная функция — это функция $y=a^x$ с переменной в показателе степени, которая возрастает при основании больше единицы и убывает при основании между нулём и единицей.