Что такое нечётная функция

Нечётная функция — это функция, для которой при любом значении $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Что такое нечётная функция, легче понять через график: он симметричен относительно начала координат, а не относительно оси ординат, как у чётной функции. Если точка $(x; y)$ лежит на графике, то и точка $(-x; -y)$ обязательно на нём лежит. Необходимое условие нечётности — область определения функции тоже должна быть симметричной относительно нуля, иначе проверка чётности вообще не имеет смысла.

Разбор по случаям

Примеры

Проверка линейной функции. Функция $y = 3x$ нечётная, потому что $f(-x) = 3 \cdot (-x) = -3x$, а $-f(x) = -3x$ — значения совпадают при любом $x$, значит равенство выполняется тождественно.

График этой функции проходит через начало координат: точке $(1; 3)$ соответствует симметричная точка $(-1; -3)$, а сама прямая переходит сама в себя при повороте вокруг начала координат на 180 градусов.

Проверка кубической функции. Функция $y = x^3$ тоже нечётная: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$, а $-f(x) = -x^3$ — оба выражения равны для любого допустимого $x$. При $x = 2$ получаем $y = 8$, а при $x = -2$ получаем $y = -8$, поэтому точки $(2; 8)$ и $(-2; -8)$ симметричны относительно начала координат.

Частые ошибки

• Проверяют равенство $f(-x) = -f(x)$ только на одном удобном числовом примере и сразу делают вывод для всей функции.
• Считают функцию нечётной по одному лишь общему виду графика, не выполняя алгебраическую проверку формулы функции.
• Забывают проверить область определения на симметричность и ошибочно называют нечётной функцию с несимметричной областью определения.

Коротко

Что такое нечётная функция, определяет равенство $f(-x) = -f(x)$, выполненное для всей симметричной области определения. График такой функции всегда симметричен относительно начала координат, как у функций $y = x$, $y = x^3$ и $y = \sin x$.