Что такое обратная функция

Обратная функция — это функция, которая меняет местами роли аргумента и значения исходной функции: если $y=f(x)$, то обратная функция задаётся как $x=f^{-1}(y)$. Что такое обратная функция, легче понять через свойство $f^{-1}(f(x))=x$ для любого $x$ из области определения. Обратная функция существует только для функций, которые каждому значению $y$ ставят в соответствие ровно одно $x$, то есть для монотонных или взаимно однозначных функций.

$y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y)$

Разбор по случаям

Примеры

Обратная функция для линейной функции. Пусть $y=2x+3$ задаёт зависимость y от x на множестве всех действительных чисел. Чтобы найти обратную функцию, выражают x через y: $x=(y-3)/2$, а затем меняют буквы местами и получают $y=(x-3)/2$. Проверка подтверждает результат: если $x=5$, то $y=2\cdot5+3=13$, а обратная функция возвращает $x=(13-3)/2=5$, то есть исходное значение.

Обратная функция для показательной функции — логарифм. Функция $y=2^x$ строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому у неё есть обратная функция. Чтобы найти её, выражают показатель через логарифм: $x=\log_2 y$, а затем меняют буквы местами и получают $y=\log_2 x$. Например, при $x=3$ исходная функция даёт $y=2^3=8$, а обратная функция возвращает $\log_2 8=3$, то есть исходное значение показателя.

Частые ошибки

• Считают, что обратная функция всегда существует, забывая проверить, что исходная функция монотонна на своей области определения.
• Путают запись $f^{-1}(x)$ с дробью $1/f(x)$, хотя обратная функция и функция, обратная по значению, — разные понятия.
• Строят график обратной функции произвольно, вместо того чтобы отразить график исходной функции относительно прямой $y=x$.

Коротко

Что такое обратная функция, определяется через перестановку ролей аргумента и значения: $y=f(x)$ и $x=f^{-1}(y)$ описывают одну и ту же зависимость в разных направлениях. Такая функция существует только для монотонных функций, а её график получают отражением графика исходной функции относительно прямой $y=x$.