Что такое действительные числа в математике

Действительные числа — это объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел, то есть чисел, которые можно и которые нельзя записать обыкновенной дробью. Обозначают это множество заглавной буквой R. Что такое действительные числа в математике, проще понять через числовую прямую: каждому действительному числу соответствует ровно одна точка на этой прямой, и наоборот, каждой точке — своё число. За пределами действительных чисел остаются только мнимые и комплексные числа.

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

Разбор по случаям

Примеры

Действительное число как рациональное. Число $\frac{2}{5} = 0,4$ — действительное число, потому что относится к рациональным числам, а все рациональные числа входят в множество действительных. На числовой прямой ему соответствует ровно одна точка между $0$ и $1$, и найти её несложно.

Действительное число как иррациональное. Число $\sqrt{2} \approx 1,4142\ldots$ тоже действительное, хотя и иррациональное: его нельзя записать обыкновенной дробью, но на числовой прямой у него есть своя точка, которую можно отметить циркулем и линейкой.

Значит, множество действительных чисел объединяет оба вида — и рациональные, и иррациональные числа, без исключений и пропусков на прямой.

Частые ошибки

• Считают, что действительные числа — это только рациональные числа, забывая про иррациональные числа вроде корня из двух и числа пи.
• Путают действительные числа с комплексными, хотя мнимая единица не входит в множество действительных чисел.
• Полагают, что у иррационального числа нет своей точки на числовой прямой, хотя такая точка есть у любого действительного числа без исключения.

Коротко

Действительные числа объединяют рациональные числа, включая целые, и иррациональные числа вроде корня из двух или числа пи, и обозначаются буквой R. Что такое действительные числа в математике, легко проверить через числовую прямую: у каждого такого числа есть своя точка на этой прямой.