Что такое действительные числа в алгебре

Действительные числа — это все числа, которые можно расположить на числовой прямой: рациональные — целые числа и дроби — и иррациональные, которые не выражаются конечной или периодической дробью. Каждой точке числовой прямой соответствует ровно одно действительное число, и наоборот. В отличие от комплексных чисел, у действительного числа нет мнимой части. Это множество имеют в виду, когда спрашивают, что такое действительные числа в алгебре, в школьном курсе.

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

Разбор по случаям

Примеры

Число корень из 2 — иррациональное. Число $\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\ldots$ является действительным, потому что ему соответствует конкретная точка на числовой прямой — длина диагонали квадрата со стороной $1$.

При этом оно иррациональное: его нельзя записать в виде дроби $p/q$, а десятичная запись бесконечна и не повторяется периодически. Значит, $\sqrt{2}$ — действительное, но не рациональное число.

Число минус три четверти — рациональное. Число $-\frac{3}{4} = -0{,}75$ тоже действительное: оно занимает свою точку на числовой прямой левее нуля. В отличие от $\sqrt{2}$, это число рациональное, потому что представлено дробью целых чисел $-3$ и $4$, а его десятичная запись конечна. Оба этих числа, и $\sqrt{2}$, и $-3/4$, входят в общее множество действительных чисел.

Частые ошибки

• Действительные числа считают синонимом рациональных, забывая, что иррациональные числа тоже входят в это множество.
• Иррациональные числа принимают за «неправильные» или несуществующие, хотя каждому из них соответствует реальная точка на прямой.
• Действительные числа путают с комплексными, забывая, что у действительного числа нет и не может быть мнимой части.

Коротко

Действительные числа объединяют все рациональные и иррациональные числа и заполняют числовую прямую без пропусков. Понимание того, что такое действительные числа в алгебре, нужно, чтобы отличать их от более узких множеств вроде целых чисел и от более широкого множества комплексных чисел.