Что такое дифференциал функции

Дифференциал функции — это главная, линейная часть приращения функции, равная произведению производной на приращение аргумента: $dy=f'(x)dx$. Что такое дифференциал функции, лучше видно в сравнении с приращением функции: дифференциал — линейное приближение, а само приращение — точное изменение значения функции. При малом приращении аргумента $dx$ дифференциал почти совпадает с приращением функции, поэтому его используют для приближённых вычислений и оценки погрешности.

$dy = f'(x) \, dx$

Разбор по случаям

Примеры

Дифференциал квадратичной функции в точке. Пусть $y=x^2$ и нужно оценить изменение функции при переходе от $x=3$ к $x=3{,}1$. Производная равна $y'=2x$, поэтому в точке $x=3$ получаем $y'=6$. Дифференциал функции $dy=6\cdot0{,}1=0{,}6$ приближённо равен настоящему приращению $Δy=3{,}1^2-3^2=0{,}61$, то есть погрешность приближения совсем небольшая. Это подтверждает, что при малом шаге $0{,}1$ дифференциал заменяет точное приращение с очень маленькой ошибкой. Пример подходит под определение, потому что $dy$ найден именно как линейная часть приращения через производную, а не как сама разность значений функции.

Дифференциал в приближённых вычислениях. Нужно приближённо вычислить $\sqrt{4{,}04}$ без калькулятора, используя функцию $y=\sqrt{x}$ в точке $x=4$. Производная равна $y'=1/(2\sqrt{x})$, поэтому в точке $x=4$ получаем $y'=0{,}25$.

Приращение аргумента $dx=0{,}04$ даёт дифференциал $dy=0{,}25\cdot0{,}04=0{,}01$, и приближённое значение получается как $\sqrt{4{,}04}\approx2+0{,}01=2{,}01$, что очень близко к точному корню.

Такой способ применяют, когда точный корень посчитать сложно, а быстрая оценка нужна сразу. Вывод показывает суть термина: линейное приближение заменяет точное вычисление корня.

Частые ошибки

• Путают дифференциал функции с самим приращением функции, хотя они совпадают лишь приближённо при малом шаге.
• Забывают, что дифференциал независимой переменной равен её приращению, и путают обозначения $dx$ и $Δx$.
• Применяют формулу дифференциала для функции, которая не имеет производной в рассматриваемой точке.

Коротко

Что такое дифференциал функции, определяет формула $dy=f'(x)dx$: главная линейная часть приращения, вычисляемая через производную и малое приращение аргумента. Такой дифференциал заменяет точное приращение функции в приближённых вычислениях, когда шаг аргумента достаточно мал.