Что такое точка максимума функции

Точка максимума функции — это точка $x_0$ из области определения, в некоторой окрестности которой значение функции не превышает значения в самой этой точке. У дифференцируемой функции в такой точке производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус при переходе через $x_0$. Именно эту точку находят, когда объясняют, что такое точка максимума функции в курсе математического анализа.

$f(x) \leq f(x_0)$

Разбор по случаям

Примеры

Парабола с вершиной сверху. Для функции $f(x) = -(x-4)^2 + 4$ найдём производную $f'(x) = -2(x-4)$ и приравняем к нулю: $x_0 = 4$. Вторая производная $f''(x) = -2$ отрицательна, значит $x_0 = 4$ — точка максимума, а $f(4) = 4$ — максимум функции. При этом $f(2) = 0$ и $f(6) = 0$: парабола ветвями вниз имеет вершину именно в точке $x_0 = 4$.

Функция с изломом графика. Для функции $f(x) = 4 - |x - 2|$ точка $x_0 = 2$ — точка максимума, хотя производная в ней не существует из-за излома графика. Слева от неё функция возрастает, справа убывает, а значение $f(2) = 4$ больше значений функции в любой соседней точке. Пример показывает, что в точке максимума производная может не существовать вовсе.

Частые ошибки

• Точкой максимума называют само максимальное значение функции, хотя это координата $x$, а не значение $y$.
• Считают любую точку с нулевой производной точкой максимума, не проверив смену знака производной.
• Путают локальный максимум с глобальным и называют максимумом самую высокую точку графика на любом отрезке.

Коротко

Точка максимума функции — это точка $x_0$ из области определения, в окрестности которой значение функции не превышает значения в самой этой точке. Её находят, приравнивая производную к нулю и проверяя смену знака, когда объясняют, что такое точка максимума функции в курсе анализа.