Что такое точки экстремума функции

Точки экстремума функции — это точки, в которых рост функции сменяется убыванием (точка максимума) или убывание сменяется ростом (точка минимума), и график образует локальный пик или впадину. Необходимое условие — производная в такой точке равна нулю или не существует, но само по себе оно экстремум не гарантирует. Когда спрашивают, что такое точки экстремума функции, имеют в виду именно смену направления графика, а не любую точку с нулевой производной.

$f'(x_0) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Точка максимума параболы. У функции $y = -x^2 + 4x$ производная $y' = -2x + 4$ равна нулю при $x = 2$: слева от этой точки производная положительна, справа отрицательна, значит $x = 2$ — точка максимума, а значение функции в ней $y(2) = 4$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому это единственный и глобальный максимум графика.

Точка минимума параболы. У функции $y = x^2 - 2x + 3$ производная $y' = 2x - 2$ равна нулю при $x = 1$: слева от точки производная отрицательна, справа положительна, значит $x = 1$ — точка минимума, а значение функции в ней $y(1) = 2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому минимум здесь глобальный, а не локальный.

Частые ошибки

• Считают любую точку, где производная равна нулю, точкой экстремума, не проверяя смену знака производной.
• Путают саму точку экстремума, то есть значение x, со значением функции в этой точке, то есть с y.
• Забывают про точки, где производная не существует, хотя экстремум функции возможен и там.

Коротко

Что такое точки экстремума функции, точнее всего описывает смена направления: в точке максимума рост функции сменяется убыванием, а в точке минимума убывание сменяется ростом. Равенство производной нулю — только необходимое условие, а сам экстремум подтверждает смена знака производной при переходе через точку.