Что такое первообразная функции

Для функции почти всегда можно подобрать другую функцию, производная которой в точности совпадает с исходной.

МатематикаОбновлено 11 сентября 2026 г.3 мин чтения

Что такое первообразная функции?

Нейросова

Первообразная функции $f(x)$ — это такая функция $F(x)$ , производная которой равна исходной функции: $F'(x) = f(x)$ на всём рассматриваемом промежутке существования обеих функций. У каждой функции бесконечно много первообразных, потому что производная любой константы равна нулю, поэтому общий вид первообразной записывают как $F(x) + C$ , где $C$ — произвольное постоянное число. Найти первообразную — значит выполнить действие, обратное дифференцированию, то есть проинтегрировать заданную функцию. Именно это обратное действие и объясняет, что такое первообразная функции в математическом анализе.

График первообразной F(x) = x в квадрате с точками F(1) = 1 и F(2) = 4 — Первообразная функции f(x) = 2x растёт как парабола

Разбор по случаям

Что известно	Формула	Когда применять
Первообразная степенной функции	$F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$	функция задана как x в степени n, степень при интегрировании увеличивается на единицу
Первообразная линейной функции	$F(x) = \frac{a x^2}{2} + b x + C$	функция вида $f(x) = ax + b$ , результат — многочлен второй степени
Семейство первообразных	F(x) + C	все первообразные одной функции отличаются друг от друга только постоянным слагаемым
Первообразная тригонометрической функции	$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$	для синуса и косинуса первообразные меняются местами со сменой знака
Первообразная показательной функции	$F(x) = e^x + C$	функция вида $e^x$ сама себе первообразная, а для основания $a$ добавляется деление на натуральный логарифм основания

Примеры

Первообразная функции f(x) = 2x. Для функции $f(x) = 2x$ первообразной служит $F(x) = x^2$ , потому что производная $F(x)$ равна $F'(x) = 2x$ , то есть в точности исходной функции. При $x = 1$ получаем $F(1) = 1$ , а при $x = 2$ получаем $F(2) = 4$ , и оба значения проверяются обратным дифференцированием. Равенство производных выполняется на всей области определения, поэтому $F(x) = x^2$ подходит под определение первообразной без каких-либо оговорок.

Проверка через дифференцирование. Чтобы убедиться, что $F(x) = x^2 + 5$ тоже первообразная функции $f(x) = 2x$ , находят производную: $F'(x) = 2x + 0 = 2x$ , константа $5$ исчезает при дифференцировании. Это показывает, что первообразных у одной функции бесконечно много, и все они различаются только числом $C$ . Проверка через дифференцирование остаётся главным способом убедиться, что найденная функция действительно удовлетворяет условию $F'(x) = f(x)$ .

Частые ошибки

Первообразную находят без постоянной C и теряют часть верных ответов, которые тоже подходят под определение согласно равенству производных.
Первообразную путают с производной и вместо интегрирования выполняют обратное действие — дифференцирование, получая неверный результат.
При степенной функции забывают делить на новую степень и оставляют только увеличенный показатель без множителя, что нарушает равенство $F'(x) = f(x)$ .

Коротко

Что такое первообразная функции, определяют через равенство производных: $F'(x) = f(x)$ на всей области определения исходной функции. Первообразных у каждой функции бесконечно много, и все они образуют семейство $F(x) + C$ , отличаясь только постоянным слагаемым.

Учебный бот Нейросовы

Бесплатный помощник по учёбе — не только по теме «Математика». Решит задачу по действиям, объяснит непонятное место своими словами, ответит на вопросы в конце параграфа.

Любой учебный вопрос
Понимает фото задания
Без регистрации

Спросить бота

Что такое первообразная функции

Разбор по случаям

Примеры

Частые ошибки

Коротко

Ещё по теме