Что такое факториал числа

Факториал числа — это произведение всех натуральных чисел от единицы до самого этого числа включительно, обозначается восклицательным знаком после числа. Например, факториал пяти записывается как 5! и равен произведению 1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4 умножить на 5. Отвечая, что такое факториал числа, кратко добавим: по отдельному соглашению факториал нуля равен единице, это нужно для формул комбинаторики, где количество способов выбора при нулевом остатке должно равняться единице, а не нулю.

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

Разбор по случаям

Примеры

Факториал числа 5. По определению $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$, перемножим числа последовательно: $1 \cdot 2 = 2$, затем $2 \cdot 3 = 6$, затем $6 \cdot 4 = 24$, и наконец $24 \cdot 5 = 120$.

Значит, $5! = 120$.

Так же через рекуррентную формулу можно получить $5! = 5 \cdot 4! = 5 \cdot 24 = 120$, что совпадает с прямым вычислением.

Число перестановок трёх книг. Сколькими способами можно расставить на полке $3$ разные книги?

Число способов равно $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.

Действительно, для первой книги есть $3$ места, для второй — оставшиеся $2$, для третьей — последнее $1$ место, и $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ подтверждает результат через факториал и показывает прямую связь факториала с задачами на упорядочивание предметов.

Частые ошибки

• Факториал нуля считают равным нулю, хотя по определению 0! = 1, а не 0.
• Путают факториал числа с самим числом, умноженным само на себя, забывая, что факториал — произведение всех чисел до него.
• При вычислении факториала пропускают одно из чисел в произведении, из-за чего результат получается заметно меньше правильного.

Коротко

Итак, что такое факториал числа: это произведение всех натуральных чисел от единицы до данного числа включительно, используемое в комбинаторике для подсчёта перестановок. Растёт факториал очень быстро: уже 10! превышает три миллиона, поэтому в задачах его часто оставляют в виде произведения, не вычисляя до конца.