Что такое линейная функция

Линейная функция — это функция, которую задаёт уравнение y = kx + b, где k и b — постоянные числа, а x — независимая переменная. Что такое линейная функция, определяет вид её графика: это всегда прямая линия, не кривая и не ломаная. Коэффициент k называют угловым коэффициентом — он показывает наклон прямой к оси абсцисс, а b — это значение функции при x, равном нулю, то есть точка пересечения графика с осью ординат.

$y = kx + b$

Разбор по случаям

Примеры

y = 0,5x + 1: значение при x = 6. При $x = 0$ значение функции равно $y = 1$ — это коэффициент $b$, точка пересечения с осью ординат. При $x = 6$ получаем $y = 0{,}5 \cdot 6 + 1 = 4$. Через точки $(0;1)$ и $(6;4)$ проходит прямая с угловым коэффициентом $k = 0{,}5$, то есть функция возрастающая, и с ростом x значение y тоже растёт.

y = -2x + 3: нахождение нуля функции. Чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс, приравнивают $y$ к нулю: $0 = -2x + 3$, откуда $x = 1{,}5$. Отрицательный коэффициент $k = -2$ означает, что функция убывает: график идёт сверху вниз слева направо, а при x=0 функция равна свободному члену b=3.

Частые ошибки

• Путают угловой коэффициент k со значением функции при x=0, хотя за это отвечает именно свободный коэффициент b.
• Считают любую прямую на графике линейной функцией, забывая, что вертикальная прямая вида x=const функцией не является.
• Путают линейную функцию с прямой пропорциональностью, хотя пропорциональность — лишь частный случай при значении b=0.

Коротко

Что такое линейная функция, определяет вид уравнения y = kx + b и график в виде прямой линии на координатной плоскости. Знак коэффициента k показывает, возрастает функция или убывает, а свободный член b задаёт точку пересечения с осью ординат.