Что такое комплексные числа

Комплексное число — это число вида a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, для которой i² = −1. Число a называют действительной частью, а b — мнимой частью комплексного числа. Такие числа ввели, чтобы извлекать квадратный корень из отрицательных чисел, что невозможно среди действительных чисел. Что такое комплексные числа, проще понять на числовой плоскости: каждому числу a + bi соответствует точка с координатами (a, b).

$z = a + bi, \ i^2 = -1$

Разбор по случаям

Примеры

Модуль комплексного числа. Для числа $z = 3 + 4i$ модуль равен $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Геометрически это число изображают вектором из начала координат в точку $(3, 4)$, а модуль равен длине этого вектора. Такое расстояние всегда неотрицательно, даже если и действительная, и мнимая части отрицательны. Так модуль комплексного числа связывает алгебраическую запись с длиной вектора на плоскости.

Сложение комплексных чисел. Сумма чисел $(2 + 3i)$ и $(1 - 5i)$ равна $2 + 1 + (3 - 5)i = 3 - 2i$. Действительные части складывают отдельно от мнимых: $2+1=3$ и $3+(-5)=-2$. Результат $3 - 2i$ — снова комплексное число с действительной частью $3$ и мнимой частью $-2$, а не одно обычное число. Так сложение комплексных чисел сводится к двум обычным сложениям действительных чисел.

Частые ошибки

• Считают i обычной переменной и упрощают i² до i, забывая, что по определению i² равен −1.
• Складывают действительную и мнимую части вместе, например считают 3+4i равным 7, хотя части нужно оставлять раздельно.
• Путают модуль комплексного числа с его действительной частью, забывая про формулу с суммой квадратов под корнем.

Коротко

Итак, что такое комплексные числа, объясняет мнимая единица i: это числа вида a + bi, которые расширяют множество действительных чисел за счёт корня из отрицательного числа. Каждому такому числу соответствует точка на плоскости, а его модуль показывает расстояние от этой точки до начала координат.