Что такое мнимые числа

Мнимые числа — это числа вида $bi$, где $b$ — действительное число, а $i$ — мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$. Что такое мнимые числа, показывает именно это свойство: квадрат мнимого числа всегда неположителен, тогда как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Мнимые числа вводят, чтобы уравнения вроде $x^2 = -9$ имели решение: $x = 3i$ или $x = -3i$. Вместе с действительными числами мнимые образуют комплексные числа вида $a + bi$.

Разбор по случаям

Примеры

Извлечение корня из отрицательного числа. Требуется найти корень из $-16$.

Представляем число под корнем как $-1 \cdot 16$ и извлекаем корни отдельно: $\sqrt{-16} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1} = 4i$.

Получившееся число $4i$ — мнимое, потому что состоит из действительного множителя 4 и мнимой единицы i, а его квадрат равен $(4i)^2 = 16 i^2 = -16$. Отрицательный квадрат результата и подтверждает, что число $4i$ подходит под определение мнимого, а не действительного числа.

Решение квадратного уравнения. Уравнение $x^2 + 25 = 0$ равносильно уравнению $x^2 = -25$. Среди действительных чисел решений нет, поэтому переходим к мнимым: $x = 5i$ или $x = -5i$. Проверка подтверждает результат: $(5i)^2 = 25 i^2 = -25$, значит равенство выполняется, а корни уравнения действительно мнимые. Оба корня — чисто мнимые числа, потому что их действительная часть равна нулю, а мнимая часть равна 5 и минус 5 соответственно.

Частые ошибки

• Считают, что мнимые числа не существуют вовсе, хотя они полноценно используются в электротехнике и физике.
• Забывают знак минус при возведении i во вторую степень, теряя его в дальнейших вычислениях.
• Путают мнимое число с отрицательным, хотя мнимое число — это результат извлечения корня из отрицательного числа.

Коротко

Что такое мнимые числа, определяет их связь с мнимой единицей i, квадрат которой равен минус единице, — такого числа нет среди действительных. Мнимые числа позволяют решать уравнения без действительных корней и вместе с действительными числами образуют более широкий класс комплексных чисел.