Что такое рациональные и действительные числа

Рациональные числа — это числа, которые можно записать обыкновенной дробью $\frac{m}{n}$, где $m$ целое число, а $n$ натуральное число. Что такое рациональные и действительные числа, объясняет и вторая часть определения: действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа и включают вообще все точки числовой прямой. Иррациональные числа, такие как $\sqrt{2}$ и $\pi$, обыкновенной дробью никогда не выражаются.

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

Разбор по случаям

Примеры

Рациональное число из дроби. Число $\frac{3}{4}$ рационально, потому что записано отношением целого числа $3$ к натуральному числу $4$. В виде десятичной дроби оно равно $0,75$ — конечной дроби, что дополнительно подтверждает его рациональность. Любое число, десятичная запись которого обрывается или периодически повторяется до бесконечности, всегда оказывается рациональным числом, а не иррациональным.

Иррациональное число среди действительных. Число $\sqrt{2}$ приблизительно равно $1,41421356...$, и цифры после запятой не повторяются периодически, а продолжаются бесконечно без всякого порядка. Поэтому $\sqrt{2}$ не является рациональным числом, но входит в множество действительных чисел, потому что занимает своё определённое место на числовой прямой строго между $1$ и $2$, ближе к числу $1,4$.

Частые ошибки

• Считают, что все дроби рациональны, забывая, что запись через корень тоже может обозначать число, не выражающееся отношением целых чисел.
• Путают иррациональные числа с отрицательными, хотя иррациональность зависит от бесконечной непериодической записи, а вовсе не от знака числа.
• Полагают, что действительных чисел больше, чем рациональных и иррациональных вместе, хотя множество действительных чисел — это в точности их объединение, без остатка.

Коротко

Что такое рациональные и действительные числа, определяется через способ записи дробью: рациональные выражаются отношением целых чисел, а действительные объединяют их с иррациональными числами. Вместе рациональные и иррациональные числа заполняют всю числовую прямую без единого пропуска, от минус бесконечности до плюс бесконечности.