Что такое вещественные числа

Вещественные (действительные) числа — это объединение всех рациональных и иррациональных чисел, которые можно расположить на числовой прямой. Что такое вещественные числа, поясняет их главное свойство: каждой точке прямой соответствует ровно одно такое число, и наоборот, каждому числу соответствует своя точка. Рациональные числа записываются конечной или периодической десятичной дробью, а иррациональные — бесконечной непериодической, например корень из двух или число пи. Любые два вещественных числа можно сравнить между собой по величине.

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

Разбор по случаям

Примеры

√2 — вещественное иррациональное число. Значение $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ нельзя записать конечной или периодической дробью, поэтому оно иррациональное. При этом на числовой прямой ему соответствует конкретная точка — диагональ квадрата со стороной $1$, поэтому оно относится к вещественным числам наравне с рациональными.

3i — не вещественное число. Значение $3i$, где $i^2 = -1$, не имеет точки на обычной числовой прямой и относится к комплексным, а не вещественным числам. Вещественная часть у него равна нулю, поэтому его нельзя сравнить по величине с числами вроде $2$ или $-5$, хотя формально записать его в виде $0 + 3i$ можно.

Частые ошибки

• Считают, что вещественные числа — то же самое, что рациональные, забывая про иррациональные значения вроде корня из двух.
• Путают вещественные и комплексные числа, хотя комплексные, кроме частного случая, не изображаются точкой на прямой.
• Считают, что между двумя соседними рациональными числами нет других чисел, забывая про плотность иррациональных значений.

Коротко

Что такое вещественные числа, определяет объединение рациональных и иррациональных чисел, каждому из которых соответствует своя точка на числовой прямой. Комплексные числа в это множество не входят, если их мнимая часть отлична от нуля вообще.