Как находить собственные векторы

Чтобы понять, как находить собственные векторы, сначала решают характеристическое уравнение $\det(A-\lambda I)=0$ и получают собственные значения λ. Затем для каждого λ подставляют его в систему $(A-\lambda I)v=0$ и находят координаты вектора v с точностью до множителя. Для диагональных и треугольных матриц собственные значения стоят прямо на диагонали, что заметно упрощает вычисления и проверку. Для матрицы n×n получают n собственных значений, каждому из которых отвечает свой собственный вектор.

$(A - \lambda I) v = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Матрица общего вида 2×2. Дана матрица $A = \begin{pmatrix}4 & 1\\ 2 & 3\end{pmatrix}$.

Характеристическое уравнение $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$ даёт корни $\lambda_1 = 5$ и $\lambda_2 = 2$.

Для $\lambda_1=5$ решаем $(A-5I)v=0$ и получаем $v_1=(1;1)$, а для $\lambda_2=2$ вектор $v_2=(1;-2)$.

Диагональная матрица. Дана диагональная матрица $A = \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 5\end{pmatrix}$.

Собственные значения совпадают с диагональными элементами: $\lambda_1=2$, $\lambda_2=5$. Собственные векторы — координатные орты $v_1=(1;0)$ и $v_2=(0;1)$, прямая подстановка в уравнение $(A-\lambda I)v=0$ полностью подтверждает этот результат.

Частые ошибки

• Решают уравнение $(A-\lambda I)v=0$ раньше, чем найдены сами собственные значения λ из характеристического уравнения.
• Забывают, что собственный вектор определён с точностью до ненулевого множителя, и ищут единственный «правильный» ответ.
• Путают собственные векторы с обычными столбцами исходной матрицы и вовсе не решают систему уравнений.

Коротко

Вот как находить собственные векторы: решить характеристическое уравнение на λ, а затем для каждого корня решить систему $(A-\lambda I)v=0$. Результат — направление, а не единственное число, поэтому вектор задан с точностью до масштаба, и любое его кратное тоже подходит.