Как найти функцию, обратную данной

Чтобы понять, как найти функцию, обратную данной, нужно взять формулу $y=f(x)$, выразить переменную $x$ через $y$, а затем поменять местами буквы $x$ и $y$ в получившемся выражении. Обратная функция существует только там, где исходная функция монотонна, то есть каждому значению $y$ соответствует ровно одно значение $x$ на всей области определения. При переходе к обратной функции область определения и область значений исходной функции меняются местами друг с другом. Графики двух взаимно обратных функций всегда симметричны относительно прямой $y=x$, построенной через начало координат.

$f(f^{-1}(x)) = x$

Разбор по случаям

Примеры

Линейная функция. Функция задана формулой $y=2x+3$. Выражаем x: $x=\frac{y-3}{2}$, затем меняем местами буквы x и y, получая обратную функцию $f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$.

Проверка: $f(f^{-1}(x))=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x-3+3=x$ — тождество выполняется, значит функция найдена верно.

Кубическая функция. Функция задана формулой $y=x^3+2$, она монотонно возрастает на всей числовой прямой. Выражаем x: $x=\sqrt[3]{y-2}$, затем меняем местами буквы x и y, получая обратную функцию $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}$. Проверка на числе: $f(1)=1^3+2=3$, а $f^{-1}(3)=\sqrt[3]{3-2}=1$ — исходное число вернулось обратно, значит функция найдена верно.

Частые ошибки

• Не проверяют, что исходная функция монотонна, из-за чего обратная функция на самом деле не существует.
• Забывают поменять местами буквы x и y после выражения переменной, оставляя формулу в исходных обозначениях.
• Путают область определения обратной функции с областью значений исходной функции и записывают их без обмена.

Коротко

Итог: как найти функцию, обратную данной, — выразить x через y из исходной формулы, затем поменять местами буквы x и y. Область определения и область значений при этом тоже меняются местами друг с другом.