Как найти градиент функции

Как найти градиент функции нескольких переменных? Вычисляют частную производную по каждой переменной отдельно, считая остальные переменные постоянными, и записывают результаты в виде вектора. Для функции двух переменных f(x, y) градиент равен вектору из ∂f/∂x и ∂f/∂y, для функции трёх переменных добавляют ещё и ∂f/∂z. Длина этого вектора показывает скорость роста функции, а направление совпадает с направлением наискорейшего возрастания. В точке экстремума функции градиент обращается в нулевой вектор.

$\nabla f(x,y) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\ \dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$

Разбор по случаям

Примеры

Функция двух переменных. Дана функция $f(x,y) = x^2y + 3y$. Чтобы найти градиент, берут частную производную по $x$, считая $y$ постоянным числом: $f_x = 2xy$. Затем берут частную производную по $y$, считая $x$ постоянным: $f_y = x^2 + 3$. Обе производные записывают в виде вектора: $\nabla f = (2xy,\ x^2+3)$. Подставив точку $(1, 2)$, получают $\nabla f(1,2) = (4,\ 4)$ — это направление наибольшего роста функции в данной точке.

Функция трёх переменных. Дана функция $f(x,y,z) = x^2 + yz$. Частная производная по $x$ равна $f_x = 2x$, поскольку слагаемое $yz$ от переменной $x$ не зависит и при дифференцировании обращается в ноль. Частная производная по $y$ равна $f_y = z$, а по $z$ равна $f_z = y$. Собрав три производные вместе, получают вектор $\nabla f = (2x,\ z,\ y)$. При $x=3$, $y=1$, $z=2$ градиент равен $\nabla f = (6,\ 2,\ 1)$.

Частые ошибки

• Дифференцируют функцию сразу по всем переменным одновременно, а не по одной, считая остальные постоянными числами.
• Забывают, что при частной производной по x переменная y ведёт себя как обычное число, и всё равно продолжают дифференцировать её отдельно.
• Путают градиент, который является вектором из нескольких чисел по числу переменных, с обычной производной одной переменной.

Коротко

Как найти градиент функции — найти частную производную по каждой переменной отдельно и собрать их в один вектор в заданном порядке переменных. Полученный вектор градиента указывает направление и скорость наискорейшего роста функции в этой точке.