Как найти координаты точки пересечения графиков функций

Чтобы понять, как найти координаты точки пересечения графиков функций, нужно приравнять их правые части и решить получившееся уравнение относительно x. Найденное значение x подставляют в любое из двух уравнений и получают координату y. Например, для прямых $y = 2x + 1$ и $y = -x + 7$ получаем $2x + 1 = -x + 7$, откуда $x = 2$, а затем $y = 5$. Если функции квадратичные, уравнение может иметь два корня и, соответственно, два разных решения.

$f(x) = g(x)$

Разбор по случаям

Примеры

Две прямые. Даны функции $y = 2x + 1$ и $y = -x + 7$. Чтобы найти общую точку, приравниваем правые части: $2x + 1 = -x + 7$. Переносим слагаемые в одну сторону: $3x = 6$, откуда $x = 2$. Подставляем найденное значение в первое уравнение: $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Проверяем по второй функции: $y = -2 + 7 = 5$, значения совпали, значит координаты $(2; 5)$ найдены верно. Такая проверка подстановкой обязательна, потому что она сразу показывает ошибку в вычислениях, если она была допущена.

Парабола и прямая. Даны функции $y = x^2 - 4x + 3$ и $y = x - 1$. Чтобы найти общие точки графиков, приравниваем их правые части: $x^2 - 4x + 3 = x - 1$, откуда $x^2 - 5x + 4 = 0$. Находим дискриминант: $D = 25 - 16 = 9$, а его корень равен $\sqrt{D} = 3$. Получаем два корня: $x = 4$ и $x = 1$. Тогда $y = 4 - 1 = 3$ и $y = 1 - 1 = 0$. Парабола и прямая пересекаются в двух точках с координатами $(4; 3)$ и $(1; 0)$, оба решения подтверждаются подстановкой обратно в исходные уравнения.

Частые ошибки

• Подставляют найденный x только в одно уравнение и не проверяют результат во втором, из-за чего не замечают ошибку.
• Забывают, что квадратное уравнение может дать два корня, и записывают только одну точку пересечения вместо двух.
• Путают координаты x и y местами при итоговой записи точки пересечения графиков функций.

Коротко

Координаты точки пересечения находят, приравнивая правые части двух уравнений и решая результат относительно x, а затем вычисляя y подстановкой в любую из функций. Именно так отвечают на вопрос, как найти координаты точки пересечения графиков функций, независимо от того, линейные это функции, квадратичные или дробно-рациональные.