Как найти координаты вершины параболы квадратичной функции

Чтобы понять, как найти координаты вершины параболы квадратичной функции y = ax^2+bx+c, сначала вычисляют абсциссу вершины по формуле x0 = -b/(2a), подставив коэффициенты a и b из уравнения. Затем найденное значение x0 подставляют обратно в исходную формулу функции и получают ординату y0 — вторую координату вершины. Если функция уже записана в вершинной форме y=a(x-m)^2+n, координаты вершины видны сразу — это точка (m; n).

$x_0 = -\frac{b}{2a}, \quad y_0 = f(x_0)$

Разбор по случаям

Примеры

y = 2x^2 - 8x + 5. Дана функция $y = 2x^2 - 8x + 5$, коэффициенты $a = 2$, $b = -8$, $c = 5$.

Сначала находим абсциссу вершины по формуле: $x_0 = -\frac{-8}{2\cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Затем подставляем это значение обратно в уравнение функции, чтобы найти ординату: $y_0 = 2\cdot 2^2 - 8\cdot 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$.

Значит, вершина параболы находится в точке $(2; -3)$, а поскольку коэффициент $a = 2$ положительный, ветви направлены вверх, и эта точка является минимумом функции.

y = -x^2 + 6x - 5. Дана функция $y = -x^2 + 6x - 5$, коэффициенты $a = -1$, $b = 6$, $c = -5$.

Находим абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{6}{2\cdot(-1)} = \frac{-6}{-2} = 3$.

Подставляем найденное значение в уравнение, чтобы получить ординату: $y_0 = -3^2 + 6\cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$.

Таким образом, вершина расположена в точке $(3; 4)$, а поскольку коэффициент $a = -1$ отрицательный, ветви направлены вниз, и эта точка является максимумом функции, то есть наибольшим значением на всём графике параболы.

Частые ошибки

• Забывают минус перед дробью и вычисляют абсциссу вершины как b, делённое на удвоенный коэффициент a, без смены знака.
• Подставляют найденную абсциссу в уравнение и путают знаки при возведении отрицательного числа в квадрат.
• Применяют формулу вершинной формы к уравнению в стандартном виде, не раскрыв предварительно скобки.

Коротко

Вопрос, как найти координаты вершины параболы квадратичной функции, решается по формуле x0 = -b/(2a) и подстановке результата в уравнение для вычисления ординаты, либо через вершинную форму записи. Эта точка служит главным ориентиром при построении графика, показывая наибольшее или наименьшее значение функции.