Как найти критические точки функции

Как найти критические точки функции — сначала находят область определения самой функции, а затем берут от неё первую производную по всем правилам дифференцирования. Приравнивают производную к нулю и решают полученное уравнение — корни входят в критические точки, если принадлежат области определения функции. Отдельно проверяют точки, где производная не существует, но сама функция там определена: такие точки тоже считаются критическими.

$f'(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Кубическая функция. Для функции $f(x)=x^3-3x$ производная равна $f'(x)=3x^2-3$. Решаем уравнение $3x^2-3=0$, откуда $x^2=1$ и $x=\pm1$. Такая функция определена при любых значениях x на всей числовой прямой, поэтому область определения не накладывает ограничений на найденные корни уравнения. Обе точки входят в область определения, значит $x=-1$ и $x=1$ — критические точки этой функции.

Функция с модулем. Для функции $f(x)=|x|$ производная $f'(x)=1$ при $x>0$ и $f'(x)=-1$ при $x<0$, а в точке $x=0$ производной не существует вовсе. Графически это выглядит как резкий излом линии ровно в начале координат на графике функции без плавного перехода. Так как функция в этой точке определена и равна $f(0)=0$, точка $x=0$ всё равно считается критической.

Частые ошибки

• Путают такие точки с обычными нулями самой функции, а не с нулями её производной.
• Забывают проверить точки, где производная не существует, но сама функция определена.
• Не проверяют, входит ли найденная точка в область определения исходной функции.

Коротко

Критические точки находят через решение уравнения f'(x)=0 и через точки, где производная не существует, но сама функция при этом всё равно определена. Как найти критические точки функции, показывают оба случая — гладкую кубическую функцию и функцию с модулем, содержащую излом.