Как найти математическое ожидание по функции распределения

Как найти математическое ожидание по функции распределения — для непрерывной случайной величины сначала дифференцированием получают плотность вероятности f(x) = F'(x), а затем вычисляют интеграл E(X) = ∫x·f(x)dx по всей области, где плотность отлична от нуля. Сама функция F(x) в этот интеграл не подставляется — нужна именно её производная. Для дискретной величины ожидание считают иначе: через скачки функции распределения и сумму xᵢpᵢ, где pᵢ — величина скачка в точке xᵢ, а не через интегрирование.

$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx$

Разбор по случаям

Примеры

Равномерное распределение. Функция распределения равна нулю при x меньше нуля, растёт по закону $F(x) = \frac{x}{2}$ на отрезке от 0 до 2 и равна единице при x больше 2.

Дифференцируем и получаем плотность: подставим $f(x) = F'(x) = \frac{1}{2}$ на этом отрезке.

Считаем ожидание: подставим $E(X) = \int_0^2 x \cdot \frac{1}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_0^2 = 1$.

Математическое ожидание равно 1.

Показательное распределение. Функция распределения задана формулой $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ при $x \ge 0$ и параметре $\lambda = 0{,}5$.

Плотность получаем дифференцированием: подставим $f(x) = F'(x) = \lambda e^{-\lambda x} = 0{,}5\,e^{-0{,}5x}$.

Для этого закона ожидание равно обратной величине параметра: подставим $E(X) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0{,}5} = 2$.

Математическое ожидание равно 2.

Частые ошибки

• Подставляют в интеграл саму функцию распределения F(x), а не её производную — плотность f(x).
• Забывают ограничить интеграл только тем промежутком, где плотность отлична от нуля, и считают по всей числовой прямой.
• Для дискретной величины пытаются интегрировать функцию распределения вместо суммирования произведений значений на вероятности скачков.

Коротко

Как найти математическое ожидание по функции распределения, определяет тип случайной величины: для непрерывной — дифференцирование до плотности и интеграл первого момента, для дискретной — сумма произведений значений на вероятности скачков. Для стандартных законов, вроде равномерного или показательного, результат можно проверить по готовой формуле параметра распределения.