Как найти минимальное значение функции

Как найти минимальное значение функции: находят производную, приравнивают её к нулю и определяют критические точки, а затем проверяют, где производная меняет знак с минуса на плюс — там и находится минимум. Для квадратичной функции с положительным коэффициентом при старшем члене минимум находится сразу в вершине параболы по готовой формуле. Если функция рассматривается только на отрезке, дополнительно сравнивают значения на его концах со значениями в критических точках.

$f'(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Через вершину параболы. Функция $y = x^2-4x+7$ квадратичная, ветви её параболы направлены вверх, а значит минимум у неё точно существует, и его можно найти напрямую без вычисления производной. Вершина находится по готовой формуле с коэффициентами $a=1$ и $b=-4$, взятыми прямо из условия: $x_0 = -b/(2a) = 4/2 = 2$.

Минимальное значение функции получается подстановкой найденной координаты обратно в саму функцию: $y_{min} = 2^2-4\cdot2+7 = 4-8+7 = 3$.

Через производную. Функция $y = x^3-3x$ не квадратичная, поэтому вершину параболы здесь искать совсем нельзя, нужна именно производная самой функции. Находим производную и приравниваем её к нулю, чтобы найти все критические точки функции: $y' = 3x^2-3 = 0$, откуда получаем сразу два корня: $x = \pm1$. При $x=1$ вторая производная равна $y'' = 6 > 0$, а значит это точка минимума, а не максимума: $y(1) = 1^3-3\cdot1 = -2$.

Частые ошибки

• Находят критическую точку, но не проверяют знак производной, и путают минимум с максимумом функции.
• Забывают сравнить значение функции в критической точке со значениями на обоих концах данного отрезка.
• Подставляют координату вершины параболы в саму формулу вершины вместо исходной функции при подсчёте.

Коротко

Как найти минимальное значение функции — исследовать производную на смену знака или, для параболы, сразу вычислить значение в вершине без лишних шагов. На отрезке минимум ищут среди значений в критических точках и на обоих концах этого отрезка.