Как найти точку перегиба функции

Как найти точку перегиба функции: находят вторую производную, приравнивают её к нулю и решают уравнение, получая координату x возможной точки перегиба. Затем проверяют, меняется ли знак второй производной при переходе через эту точку слева направо. Если знак меняется, точка действительно является точкой перегиба, а её ординату находят подстановкой найденного x в исходную функцию.

$f''(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Кубическая функция. Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Вторая производная равна $f''(x) = 6x - 6$. Приравнивают её к нулю: $6x - 6 = 0$, откуда $x = 1$. Знак второй производной меняется с минуса на плюс при переходе через эту точку, значит $x = 1$ — точка перегиба, а её ордината равна $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$.

Ложный кандидат. Дана функция $f(x) = x^4$. Вторая производная равна $f''(x) = 12x^2$, и она обращается в нуль при $x = 0$. Однако знак $f''(x)$ не меняется: слева и справа от нуля значение остаётся положительным. Значит, точка $x = 0$ не является точкой перегиба, несмотря на нулевое значение второй производной.

Частые ошибки

• Принимают любой нуль второй производной за точку перегиба, не проверяя смену знака слева и справа.
• Путают точку перегиба с точкой экстремума и ищут её через первую производную вместо второй.
• Забывают вычислить ординату точки перегиба и оставляют в ответе только найденное значение x, не подставляя его обратно в функцию.

Коротко

Как найти точку перегиба функции — приравнять вторую производную к нулю, решить уравнение и проверить смену знака второй производной около найденной точки. Если знак меняется, точку перегиба подтверждают подстановкой найденного x в исходную функцию.