Как найти множество значений функции по графику

Как найти множество значений функции по графику? Смотрят на график и определяют, до какой наименьшей и наибольшей высоты он поднимается по вертикальной оси Oy: эти два числа — границы множества значений. Если график уходит в бесконечность вверх или вниз, соответствующая граница отсутствует, и промежуток остаётся открытым. Разрывы и выколотые точки на графике исключают из множества значений отдельно, даже если рядом функция непрерывна.

Разбор по случаям

Примеры

График параболы. На графике видно, что парабола имеет вершину в точке $(1, 2)$, а её ветви уходят вверх без ограничений. Наименьшее значение $y$, которое достигает график, равно $2$, а верхней границы у него нет, потому что кривая поднимается бесконечно. Множество значений этой функции по графику — $y \in [2;\ +\infty)$.

График с горизонтальной асимптотой. На графике кривая поднимается снизу вверх и приближается к прямой $y=3$, но никогда её не пересекает, а снизу график ограничен значением $y=0$, которого он достигает. Множество значений по такому графику — $y \in [0;\ 3)$, включая нижнюю границу и не включая верхнюю.

Частые ошибки

• Читают границы множества значений по оси Ox вместо оси Oy и получают область определения вместо области значений.
• Не замечают на графике выколотую точку и по ошибке включают её значение y в итоговое множество значений.
• Для графика с асимптотой записывают нестрогое неравенство там, где кривая эту линию никогда не достигает.

Коротко

Как найти множество значений функции по графику — спроецировать все точки кривой на ось Oy и определить крайние достигнутые значения, учитывая разрывы и асимптоты. Границу включают в ответ, только если график действительно достигает этого значения.