Как найти область допустимых значений функции

Как найти область допустимых значений функции? Просматривают формулу и выписывают запрет для каждого «опасного» места: под корнём чётной степени выражение не может быть отрицательным, знаменатель дроби не может равняться нулю, а аргумент логарифма должен быть строго положительным. Решают каждое условие отдельно, а затем находят пересечение всех полученных промежутков — это и есть искомая область.

Разбор по случаям

Примеры

Функция с корнем и дробью. Дана функция $y=\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}$. Здесь два опасных места сразу: под корнём стоит выражение $x-3$, и оно же оказалось в знаменателе всей дроби. Из-за корня нужно $x-3 \geq 0$, а из-за знаменателя — $x-3 \neq 0$, поэтому объединённое условие получается строгим: $x-3 > 0$, откуда $x > 3$. Область допустимых значений — промежуток $x \in (3;\ +\infty)$, а в самой точке $x=3$ функция не определена.

Функция с логарифмом. Дана функция $y=\log_2(5-x)$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, иначе логарифм не имеет смысла: $5-x>0$, откуда после переноса слагаемых получают $x<5$. Область допустимых значений — промежуток $x \in (-\infty;\ 5)$. При $x=5$ выражение под логарифмом обращается в ноль, а логарифм нуля не существует, поэтому эту точку из ответа исключают.

Частые ошибки

• Для корня, который одновременно стоит в знаменателе, записывают нестрогое неравенство там, где нужно строгое.
• Для логарифма используют нестрогое неравенство больше либо равно нулю вместо строгого больше нуля.
• Забывают объединить все найденные условия пересечением и оставляют в ответе только последнее ограничение.

Коротко

Как найти область допустимых значений функции — выписать условие для каждого опасного места формулы: корня, дроби и логарифма — и найти пересечение всех решений. Полученный промежуток или несколько промежутков и составляют искомую область. Ответ удобно проверять на числовой оси, отмечая запрещённые точки выколотыми кружками.