Как найти область определения тригонометрической функции

Как найти область определения тригонометрической функции? У синуса и косинуса ограничений нет — они определены при любых x. Для тангенса исключают x = π/2 + πn, для котангенса — x = πn, где n — целое число. Если тригонометрическое выражение стоит под корнём чётной степени, требуют его неотрицательности; если оно в знаменателе дроби, исключают точки, где знаменатель равен нулю. Оставшиеся значения x образуют искомую область.

$x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$

Разбор по случаям

Примеры

Функция с корнем. Дана функция $y=\sqrt{2\cos x - 1}$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2\cos x - 1 \geq 0$, откуда $\cos x \geq \dfrac{1}{2}$.

Это верно при $x \in \left[-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n;\ \dfrac{\pi}{3}+2\pi n\right]$, $n \in \mathbb{Z}$.

На остальных промежутках косинус меньше половины, и корень не существует, значит функция там не определена.

Функция с тангенсом в знаменателе. Дана функция $y=\dfrac{3}{\text{tg}\,x - 1}$.

Исключают точки, где знаменатель равен нулю: $\text{tg}\,x = 1$, то есть $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n$. Также исключают точки, где сам тангенс не определён: $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$. Область определения — все x, кроме этих двух серий значений, $n \in \mathbb{Z}$.

Частые ошибки

• Исключают только нули знаменателя дроби и забывают про точки, где сам тангенс или котангенс не существует.
• Записывают условие для корня как строгое неравенство вместо нестрогого и теряют граничные точки решения.
• Путают период тангенса с периодом синуса и косинуса и из-за этого теряют часть решений в ответе.

Коротко

Как найти область определения тригонометрической функции — вопрос, который решают разбором формулы: берут стандартную область синуса или косинуса и добавляют запреты тангенса, котангенса, корня и знаменателя. Итоговое множество x записывают как объединение или пересечение всех условий с учётом периода функции.