Как найти область определения функции на 2 курсе

Как найти область определения функции на 2 курсе, если она зависит от двух переменных x и y? Выписывают запреты для каждого опасного выражения: под корнём чётной степени должно быть неотрицательное число, знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, а аргумент логарифма — быть положительным. Каждое условие превращается в неравенство с двумя переменными, а их пересечение задаёт уже не числовой промежуток, а целую область на координатной плоскости.

Разбор по случаям

Примеры

Функция с корнем от двух переменных. Дана функция $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $4-x^2-y^2 \geq 0$, то есть $x^2+y^2 \leq 4$. Область определения — круг радиусом $2$ с центром в начале координат, причём граница круга входит в область, так как неравенство нестрогое.

Функция с дробью от двух переменных. Дана функция $z=\dfrac{1}{x-y}$. Знаменатель дроби не должен обращаться в нуль: $x-y \neq 0$, то есть $x \neq y$. Область определения — вся координатная плоскость, кроме прямой $y=x$, которую из области полностью исключают.

Частые ошибки

• Ищут только одно условие и забывают, что для функции двух переменных таких условий обычно несколько.
• Записывают ответ как числовой промежуток, хотя для функции двух переменных ответом должна быть область на плоскости.
• Забывают включить границу области в ответ при нестрогом неравенстве и, наоборот, исключают её при строгом.

Коротко

Как найти область определения функции на 2 курсе — выписать условие для каждого опасного выражения и решить систему неравенств относительно x и y. Ответом служит область на координатной плоскости: круг, полуплоскость или их пересечение, а изображают её штриховкой нужной стороны от каждой границы.