Как найти область значений функции 10 класс

Чтобы понять, как найти область значений функции 10 класс, для квадратичной функции сначала находят координату вершины параболы $y_0=-\frac{D}{4a}$, а дальше смотрят на знак коэффициента $a$: при $a>0$ область значений $y\ge y_0$, при $a<0$ — $y\le y_0$. Для монотонной на промежутке функции достаточно подставить границы промежутка в саму функцию и взять значения между ними. Для дробно-рациональной функции удобнее выразить $x$ через $y$ и найти, при каких $y$ это выражение вообще существует. Для более сложных функций, которые не являются ни параболой, ни монотонной функцией, используют производную и сравнивают значения в критических точках.

$y_0 = -\frac{D}{4a}$

Разбор по случаям

Примеры

Квадратичная функция. Дана функция $y=x^2-4x+3$. Дискриминант $D=16-12=4$, координата вершины $y_0=-\frac{4}{4\cdot1}=-1$. Так как $a=1>0$, ветви параболы направлены вверх, поэтому область значений $y\ge-1$, то есть весь луч числовой оси, начиная от минус единицы и уходящий в бесконечность.

Дробно-рациональная функция. Дана функция $y=\frac{2}{x-1}+3$. Выразим $x$: $x=1+\frac{2}{y-3}$, это выражение существует при любом $y$, кроме $y=3$. Область значений — все числа, кроме $y=3$, что соответствует горизонтальной асимптоте графика этой функции на координатной плоскости.

Частые ошибки

• Путают область определения, значения x, с областью значений, значения y, и находят не то множество чисел.
• Для параболы забывают учитывать знак коэффициента a и указывают направление луча в обратную сторону.
• Для дробно-рациональной функции не выражают x через y, а сразу называют областью значений все действительные числа.

Коротко

Итог: как найти область значений функции 10 класс — для параболы найти вершину и учесть знак коэффициента a, для монотонной функции подставить границы промежутка, а для дробно-рациональной выразить x через y. Способ выбирают по виду самой функции.