Как найти область значений функции по графику

Чтобы понять, как найти область значений функции по графику, нужно посмотреть, какие значения по оси y принимает линия графика, отметив крайние точки по высоте. Если график непрерывен и имеет чётко видимую наименьшую и наибольшую точку, область значений записывают как отрезок между ними: $E(f)=[y_{min};y_{max}]$. Если линия приближается к горизонтальной прямой, но не касается её, эта высота исключается из области значений отдельной круглой скобкой. У параболы область значений ограничена ординатой вершины с одной стороны и уходит в бесконечность с другой стороны.

$E(f) = [y_{min}; y_{max}]$

Разбор по случаям

Примеры

Парабола, ветви вниз. По графику параболы видно, что вершина находится в точке $(4;4)$, а ветви направлены вниз и уходят в отрицательные значения без ограничения. Наибольшее значение функции равно $4$, других ограничений снизу нет, поэтому область значений записывают как $E(f)=(-\infty;4]$. Эта запись означает, что функция принимает любое значение, не большее $4$, включая саму границу.

График с асимптотой. На графике функции $y=\frac{1}{x}$ видна горизонтальная асимптота $y=0$, к которой ветви графика приближаются сколь угодно близко, но никогда её не достигают. Поэтому значение $y=0$ в область значений не входит, а любое другое число достигается графиком хотя бы один раз.

Область значений записывают как $E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Частые ошибки

• Путают область значений на оси y с областью определения на оси x и записывают не те границы.
• Включают в область значений высоту горизонтальной асимптоты, которую график на самом деле никогда не достигает.
• Не замечают на графике выколотые точки и записывают область значений без исключения этих чисел из неё.

Коротко

Итог: как найти область значений функции по графику — определить, какие значения по оси y принимает линия, учитывая крайние точки, асимптоты и выколотые точки. Результат записывают в виде промежутка или объединения нескольких промежутков.