Как найти производную функции f(x)

Чтобы понять, как найти производную функции f(x), определяют, к какому виду она относится — степенная, сумма, произведение, частное или сложная функция — и применяют соответствующее правило. Для степени $f(x)=x^n$ верно $f'(x)=nx^{n-1}$, для суммы $f'(x)=u'(x)+v'(x)$. Для сложной функции $f(x)=u(v(x))$ используют цепное правило: $f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$. Для произведения и частного применяют отдельные правила, которые нельзя заменить простым перемножением или делением производных множителей. Такой разбор по видам и есть общий способ, как находится производная функции любой сложности.

$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Разбор по случаям

Примеры

Степень и сумма. Дана функция $f(x)=3x^2+5x-7$. По правилам степени и суммы: производная первого слагаемого $6x$, второго $5$, а производная константы $-7$ равна нулю. Итого $f'(x)=6x+5$. В точке $x=2$ значение производной $f'(2)=6\cdot2+5=17$, это угловой коэффициент касательной к графику в этой точке.

Сложная функция. Дана функция $f(x)=(2x+3)^4$. Внешняя функция — степень четвёртая, внутренняя — линейная $2x+3$.

По цепному правилу $f'(x)=4(2x+3)^3\cdot2=8(2x+3)^3$.

В точке $x=1$ внутреннее выражение равно $5$, а значение $f'(1)=8\cdot5^3=8\cdot125=1000$, что заметно больше значения самой функции в этой точке.

Частые ошибки

• Дифференцируют произведение как произведение производных отдельных множителей, забывая правило (uv)'=u'v+uv'.
• Забывают умножить результат на внутреннюю производную при использовании цепного правила для сложной функции.
• Считают производную константы равной самой константе, а не нулю, как того требует базовое правило.

Коротко

Итог: как найти производную функции f(x) — определить тип выражения и подставить его в нужное правило дифференцирования: степенное, для суммы, произведения, частного или сложной функции. Большинство школьных примеров сводятся к комбинации этих пяти базовых правил, применённых по очереди друг за другом.