Как найти точку максимума функции по графику

Чтобы понять, как найти точку максимума функции по графику, нужно отыскать вершину пика линии, где возрастание сменяется убыванием: слева от точки функция растёт, справа — убывает. Абсцисса этой вершины и есть точка максимума, а не само наибольшее значение функции, которое называют максимумом функции. Если на графике несколько пиков разной высоты, каждый из них — точка локального максимума, а точку с наибольшим значением называют точкой глобального максимума на всём промежутке.

$f'(x_{max}) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Формула параболы. Функция задана формулой $y=-x^2+6x-5$, коэффициенты $a=-1$ и $b=6$.

Абсцисса вершины параболы $x_{max}=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3$, ветви параболы направлены вниз, значит это точка максимума.

Значение функции в этой точке $y(3)=-9+18-5=4$, но точкой максимума считается именно $x=3$, а не число $4$.

Чтение графика. На графике видно, что линия функции растёт на промежутке от $x=-2$ до $x=1$, достигая наибольшей высоты $y=5$, а затем убывает на промежутке от $x=1$ до $x=4$. Возрастание сменяется убыванием именно в точке $x=1$, поэтому точкой максимума считается число $1$, а значение функции в ней равно $5$.

Частые ошибки

• Называют точкой максимума значение функции (ординату), а не абсциссу самой точки на оси x.
• Путают локальный максимум с глобальным, выбирая не самый высокий из нескольких пиков графика.
• Ищут точку максимума там, где линия графика просто убывает, не находя момента смены возрастания на убывание.

Коротко

Итог: как найти точку максимума функции по графику — отыскать вершину пика, где возрастание сменяется убыванием, и назвать абсциссу этой точки. Если пиков несколько, наибольший из них даёт точку глобального максимума, а формулу вершины параболы используют, когда известна сама функция.