Как найти касательную к графику функции

Как найти касательную к графику функции в точке x₀, показывает формула y = f(x₀) + f′(x₀)(x−x₀). Сначала находят значение функции f(x₀) и её производную f′(x₀) в этой же точке, затем подставляют оба полученных числа в формулу и аккуратно раскрывают скобки. Угловой коэффициент касательной всегда равен значению производной в точке касания, а свободный член показывает сдвиг прямой по вертикали.

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$

Разбор по случаям

Примеры

Парабола y = x². Функция $f(x) = x^2$, точка касания $x_0 = 1$. Значение функции $f(1) = 1$, производная $f'(x) = 2x$, значит $f'(1) = 2$. Уравнение касательной: $y = 1 + 2(x-1) = 2x - 1$. Прямая пересекает ось y в точке $-1$ и наклонена вверх.

Кубическая функция y = x³. Функция $f(x) = x^3$, точка касания $x_0 = 1$. Значение функции $f(1) = 1$, производная $f'(x) = 3x^2$, значит $f'(1) = 3$. Уравнение касательной: $y = 1 + 3(x-1) = 3x - 2$. Угловой коэффициент 3 показывает более быстрый рост, чем у параболы.

Частые ошибки

• Подставляют x0 в производную вместо самой функции при вычислении f(x0), и наоборот.
• Забывают раскрыть скобки в формуле y = f(x0) + f'(x0)(x−x0) и оставляют ответ в неупрощённом виде.
• Касательная к графику функции получается неверной, если производную считают с арифметической ошибкой в показателе степени.

Коротко

Формула y = f(x0)+f'(x0)(x−x0) остаётся одной и той же для любой функции, меняются только f(x0) и производная в точке. Так математика отвечает на вопрос, как найти касательную к графику функции, в любой точке касания.