Как найти область значения функции по уравнению

Как найти область значения функции по уравнению: для параболы находят вершину через координату x0 = −b, делённое на 2a, подставляют её обратно в уравнение и смотрят на направление ветвей вверх или вниз. Для дробно-рациональной функции выражают x через y и находят, при каких y это выражение имеет смысл и существует. Для монотонной функции достаточно подставить крайние точки области определения и получить граничные значения ответа.

$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$

Разбор по случаям

Примеры

Парабола. Дано уравнение $y = x^2 - 4x + 7$. Находим вершину параболы: $x_0 = \dfrac{4}{2} = 2$. Подставляем в уравнение: $y(2) = 4 - 8 + 7 = 3$. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный, поэтому область значений — $y \in [3; +\infty)$. Меньше трёх функция не принимает ни одного значения.

Дробно-рациональная функция. Дано уравнение $y = \dfrac{3}{x-1} + 2$. Выражаем $x$ через $y$: $x - 1 = \dfrac{3}{y-2}$, откуда $x = 1 + \dfrac{3}{y-2}$. Выражение существует при любом $y$, кроме $y = 2$, когда знаменатель обращается в ноль.

Область значений функции: $y \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Число $y=2$ — это горизонтальная асимптота графика.

Частые ошибки

• Путают область определения с областью значений функции и по ошибке ищут ограничения для переменной x вместо ограничений для y.
• У параболы забывают учесть направление её ветвей вверх или вниз и указывают неверный знак неравенства в итоговом ответе.
• Не проверяют то значение, при котором знаменатель дроби обращается в ноль, и по ошибке включают это число в область значений.

Коротко

Как найти область значения функции по уравнению — способ зависит от вида функции: через вершину параболы, через обратную подстановку для дроби или через границы области определения для монотонной функции. Итоговый ответ всегда записывают в виде промежутка значений y.