Как найти максимум функции

Чтобы найти максимум функции, сначала решают уравнение $f'(x) = 0$ и получают критические точки, а затем проверяют, что в них $f''(x) < 0$ или знак производной меняется с плюса на минус. Отвечая на вопрос, как найти максимум функции, заданной на отрезке, дополнительно сравнивают значения в критических точках со значениями на концах отрезка — наибольшее из них и есть максимум. Для параболы с отрицательным коэффициентом при $x^2$ максимум находится сразу в вершине.

$f'(x) = 0,\ f''(x) < 0$

Разбор по случаям

Примеры

Квадратичная функция. Дана функция $f(x) = -x^2 + 4x + 1$, ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$. Производная $f'(x) = -2x + 4$, приравнивают к нулю: $-2x+4=0$, откуда $x = 2$. Вторая производная $f''(x) = -2 < 0$, значит это точка максимума, а не минимума. Подставляют $x=2$ в исходную функцию: $f(2) = -4 + 8 + 1 = 5$. Наибольшее значение функции равно $5$ и достигается именно в вершине параболы при $x = 2$.

Функция на отрезке. Дана функция $f(x) = x^3 - 3x$ на отрезке $[-2;\,2]$. Производная $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ даёт критические точки $x = -1$ и $x = 1$ внутри отрезка. Значения функции: $f(-2) = -2$, $f(-1) = 2$, $f(1) = -2$, $f(2) = 2$. Одной проверки критических точек здесь недостаточно — обязательно сравнивают их со значениями на обоих концах отрезка. Наибольшее из четырёх значений равно $2$, оно достигается сразу в двух точках — $x = -1$ и $x = 2$.

Частые ошибки

• Приравнивают производную к нулю и сразу считают точку максимумом, не проверяя знак второй производной.
• Ищут максимум на отрезке только через критические точки, забывая сравнить значения на концах отрезка.
• Путают вершину параболы с максимумом, когда ветви параболы направлены вверх и там на самом деле минимум.

Коротко

Значит, чтобы понять, как найти максимум функции, находят критические точки через производную и проверяют знак второй производной или её смену. На отрезке к этому добавляют сравнение со значениями на концах, а для параболы координату вершины считают напрямую.