Как найти область определения функции по графику

Чтобы понять, как найти область определения функции по графику, мысленно проецируют каждую точку кривой на ось x и смотрят, какие значения x покрыты графиком. Закрашенная точка (кружок) на конце линии включается в ответ, а выколотая точка (пустой кружок) — не включается. Если график обрывается или уходит к вертикальной асимптоте, соответствующее значение x или целый промежуток исключают из области определения.

Разбор по случаям

Примеры

Непрерывный график с закрашенными концами. На графике линия начинается в точке с закрашенным кружком при x = −2 и заканчивается закрашенным кружком при x = 4, без разрывов между ними. Проекция всей линии на ось x покрывает отрезок от −2 до 4 включительно, поэтому область определения записывают так: $D(f) = [-2; 4]$. Квадратные скобки означают, что обе граничные точки входят в ответ, потому что кружки на графике закрашены.

График с выколотой точкой и асимптотой. График непрерывен на промежутке от −5 до 5, но при x = 0 стоит выколотая точка, а при приближении к x = 3 линия уходит вертикально вверх — это вертикальная асимптота.

Значит, из области определения исключают точку x = 0 и значение x = 3: $D(f) = [-5; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 5]$.

Оба исключённых значения на графике отмечены разрывом линии.

Частые ошибки

• Область определения путают с областью значений и проецируют график на ось y.
• Выколотую точку на графике включают в область определения по ошибке.
• Не замечают вертикальную асимптоту и включают в ответ значение x, к которому она стремится.

Коротко

Чтобы понять, как найти область определения функции по графику, каждую точку кривой проецируют на ось x и смотрят, какие значения x она покрывает, а закрашенные и выколотые точки на концах определяют, входят ли граничные значения в ответ. Разрывы и вертикальные асимптоты всегда исключают соответствующие значения x из области определения.