Как найти площадь фигуры через интеграл

Как найти площадь фигуры через интеграл — если функция неотрицательна на отрезке $[a, b]$, применяют формулу $S = \int_a^b f(x)\,dx$. Если график пересекает ось абсцисс, под интегралом ставят модуль функции: $S = \int_a^b |f(x)|\,dx$, иначе части ниже оси вычтутся, а не сложатся.

Когда фигура зажата между двумя графиками, из верхней функции вычитают нижнюю: $S = \int_a^b \left(f(x) - g(x)\right) dx$.

Пределы интегрирования либо даны в условии напрямую, либо находятся как корни уравнения $f(x) = g(x)$. Ответ интеграла в таких задачах — просто число, площадь фигуры, без единиц измерения, если в условии заданы только координаты, а не сантиметры.

Разбор по случаям

Примеры

Площадь под прямой. Функция $f(x) = x$ задана на отрезке $[0, 4]$, а её график вместе с осью абсцисс ограничивает треугольную фигуру.

Площадь находят по формуле $S = \int_0^4 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8 - 0 = 8$.

Тот же результат получается и геометрически, как площадь прямоугольного треугольника с двумя катетами по 4, что подтверждает правильность интегрирования. Интеграл в этом простом случае просто формализует привычную геометрическую формулу площади треугольника.

Площадь между двумя графиками. Фигура ограничена графиками функций $f(x) = x + 2$ и $g(x) = x^2$, которые пересекаются в точках $x = -1$ и $x = 2$.

На этом отрезке прямая расположена выше параболы, поэтому площадь равна $S = \int_{-1}^{2} \left[(x+2) - x^2\right] dx = 4,5$.

Пределы интегрирования здесь — не числа из условия, а корни уравнения $x + 2 = x^2$, которые находят самостоятельно перед тем, как считать сам интеграл.

Частые ошибки

• Забывают взять модуль там, где график пересекает ось абсцисс, и площадь получается заниженной из-за минуса.
• Пределы интегрирования берут прямо из условия, хотя их сначала нужно найти как корни уравнения $f(x) = g(x)$.
• При площади между двумя графиками вычитают функции в неправильном порядке и получают отрицательный результат.

Коротко

Как найти площадь фигуры через интеграл — определить, какая функция сверху, какая снизу, и на каком отрезке они рассматриваются, а затем вычислить разность первообразных на границах. Формула $S = \int_a^b f(x)\,dx$ остаётся основой для всех более сложных случаев с двумя графиками или переменой знака.