Как найти экстремумы функции через производную

Как найти экстремумы функции через производную: находят $f'(x)$, решают уравнение $f'(x)=0$ и получают критические точки. В каждой точке проверяют смену знака производной или знак второй производной $f''(x)$. Если $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус, это точка максимума, а с минуса на плюс — минимума. Если $f''(x_0)>0$, точка является точкой минимума, если $f''(x_0)<0$ — точкой максимума; при $f''(x_0)=0$ нужна дополнительная проверка через производные старших порядков.

$f'(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Кубическая функция с двумя экстремумами. Дана функция $f(x) = x^3 - 3x$. Её производная $f'(x) = 3x^2 - 3$, а уравнение $f'(x)=0$ даёт точки $x=-1$ и $x=1$. Вторая производная $f''(x) = 6x$ отрицательна при $x=-1$, значит там максимум: $f(-1) = 2$. При $x=1$ вторая производная положительна, там минимум: $f(1) = -2$. Между этими точками функция убывает, а за их пределами возрастает.

Квадратичная функция с одним минимумом. Для функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$ производная равна $f'(x) = 2x - 4$. Из уравнения $2x-4=0$ находят $x=2$ — единственную критическую точку. Вторая производная $f''(x)=2$ положительна при любом $x$, поэтому $x=2$ — точка минимума. Значение функции в этой точке: $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$.

Частые ошибки

• Путают критическую точку с точкой экстремума и не проверяют смену знака производной в её окрестности.
• Забывают включить границы отрезка в сравнение, если ищут не локальный, а наибольшее и наименьшее значение функции.
• Ошибаются в знаке при вычислении второй производной и подписывают минимум там, где на самом деле максимум.

Коротко

Как найти экстремумы функции через производную, решают через уравнение f'(x)=0 и анализ знака первой или второй производной в каждой критической точке. Тип экстремума — максимум или минимум — определяется знаком смены производной или значением второй производной в этой точке.