Как найти точку максимума функции через производную

Чтобы понять, как найти точку максимума функции через производную, сначала находят производную $f'(x)$ и решают уравнение $f'(x) = 0$ — так получают критические точки функции. Затем проверяют, как меняется знак производной при переходе через каждую точку: если знак меняется с плюса на минус, это точка максимума. Быстрее это подтверждает вторая производная: если $f''(x_0) < 0$, точка $x_0$ — точка максимума функции. На отрезке дополнительно сравнивают значение в этой точке с значениями на его концах.

$f'(x_0) = 0,\quad f''(x_0) < 0$

Разбор по случаям

Примеры

Квадратичная функция. Пусть дана функция $f(x) = -x^2+4x$. Находим производную: $f'(x) = -2x+4$. Приравниваем производную к нулю: $-2x+4=0$, откуда $x=2$ — это критическая точка. Проверяем знак производной: при $x<2$ значение $f'(x)$ положительно, функция растёт, а при $x>2$ значение $f'(x)$ отрицательно, функция убывает, значит в точке $x=2$ действительно максимум.

Подставляем найденный икс в саму функцию: $f(2) = -2^2+4\cdot2 = -4+8 = 4$.

Значит, максимум функции равен $4$ и достигается в точке $x=2$.

Кубическая функция. Пусть дана функция $f(x) = -x^3+3x^2$.

Находим производную: $f'(x) = -3x^2+6x = -3x(x-2)$.

Она равна нулю при $x=0$ и при $x=2$ — получаем сразу две критические точки. Считаем вторую производную: $f''(x) = -6x+6$. При $x=2$ получаем $f''(2) = -12+6 = -6 < 0$, значит здесь функция имеет точку максимума, а при $x=0$ вторая производная положительна, там расположена точка минимума. Подставляем икс в исходную функцию и находим значение максимума: $f(2) = -8+12 = 4$.

Частые ошибки

• Путают критическую точку, где производная равна нулю, с самой точкой максимума и не проверяют смену знака производной.
• Считают равенство нулю второй производной признаком отсутствия экстремума и пропускают проверку знака первой производной.
• Находят только один корень уравнения производной и не проверяют остальные критические точки функции.

Коротко

Итак, как найти точку максимума функции через производную: находят критические точки из уравнения $f'(x)=0$ и проверяют смену знака производной или знак второй производной в этой точке. Если знак меняется с плюса на минус или $f''(x_0)<0$, перед вами точка максимума функции.