Как найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Площадь фигуры, ограниченной линиями y = f(x) и y = g(x), находят через определённый интеграл: S = ∫[a,b] (f(x) − g(x)) dx, где f(x) — верхняя линия графика, а a и b — точки их пересечения между собой. Сначала решают уравнение f(x) = g(x) и находят пределы интегрирования a и b на числовой оси. Если одна из линий — ось абсцисс, то g(x) = 0 и формула упрощается до интеграла самой функции без изменений. Так решают, как найти площадь фигуры, ограниченной линиями, в задачах на определённый интеграл.

$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x))\,dx$

Разбор по случаям

Примеры

Парабола и прямая. Линии $y = x^2$ и $y = x$ пересекаются в точках $x = 0$ и $x = 1$. На этом отрезке прямая выше параболы.

Площадь: $S = \int_{0}^{1} (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Парабола, ось абсцисс и прямая. Фигура ограничена графиком $y = x^2$, осью абсцисс и прямой $x = 2$ на отрезке от $0$ до $2$.

Площадь: $S = \int_{0}^{2} x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}$.

Ответ здесь получают в виде обыкновенной дроби, а не десятичного числа.

Частые ошибки

• Забывают найти точки пересечения линий и берут произвольные пределы интегрирования вместо верных.
• Вычитают функции в неправильном порядке и получают в ответе отрицательную площадь фигуры.
• Не разбивают отрезок на части, если график функции пересекает ось абсцисс внутри него.

Коротко

Как найти площадь фигуры, ограниченной линиями, всегда сводится к определённому интегралу разности верхней и нижней функции на найденном отрезке между точками пересечения. Главное — правильно определить пределы интегрирования из уравнения f(x) = g(x) и не перепутать порядок функций в разности.