Как найти минимум функции

Как найти минимум функции: найти производную $f'(x)$, приравнять её к нулю и найти критические точки, затем определить знак производной слева и справа от каждой из них. Если производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку, это и есть искомая точка. Значение функции в ней $f(x_0)$ и будет наименьшим на рассматриваемом промежутке или на всей области определения функции.

$f'(x_0) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Минимум функции f(x) = x² − 4x + 5. Производная: $f'(x) = 2x - 4$. Приравниваем к нулю: $2x-4=0$, откуда $x_0 = 2$. При $x<2$ производная отрицательна, при $x>2$ — положительна, значит это точка минимума. Значение функции: $f(2) = 4-8+5=1$. Наименьшее значение равно единице и достигается в точке $x_0=2$, а левее и правее неё функция принимает только большие значения, что видно по параболе с ветвями вверх.

Минимум функции f(x) = 3x² − 12x + 7. Так как $a=3>0$, парабола имеет минимум в вершине: $x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = 2$.

Значение функции: $f(2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 7 = 12-24+7=-5$.

Наименьшее значение равно минус пяти при $x=2$, что подтверждает формула вершины параболы без вычисления производной отдельно. Проверка производной: $f'(x)=6x-12$, при $x=2$ она равна нулю, что совпадает с результатом по формуле вершины и подтверждает правильность вычислений.

Частые ошибки

• Путают критическую точку производной с точкой минимума, не проверив смену знака слева и справа от неё.
• Забывают проверить значения на границах отрезка, если функция задана не на всей числовой прямой.
• Считают вершину параболы по неверной формуле, теряя знак минус перед коэффициентом b в числителе.

Коротко

Как найти минимум функции — найти производную, приравнять её к нулю, определить критические точки и проверить смену знака производной вокруг каждой из них. Если знак меняется с минуса на плюс, значение функции в этой точке и есть искомое наименьшее значение на всей области определения.