Как найти площадь закрашенной фигуры

Чтобы понять, как найти площадь закрашенной фигуры, её разбивают на простые части — прямоугольники, треугольники, трапеции — и складывают их площади. Если фигура получена вычитанием, сначала считают площадь большой фигуры, затем площадь вырезанного куска и вычитают одно из другого. На клетчатой бумаге проще посчитать полные клетки, объединить половинки в пары и добавить доли неполных клеток по площади каждой части.

Разбор по случаям

Примеры

клетки на сетке. Пусть закрашенная фигура занимает 14 целых клеток и 4 половинки на сетке со стороной клетки $1 \text{ см}$, что удобно для быстрого счёта без линейки. Площадь целых клеток равна $14 \text{ см}^2$, а четыре половинки дают ещё $2 \text{ см}^2$.

Складываем: $S = 14 + 2 = 16 \text{ см}^2$.

Итоговая площадь фигуры — 16 квадратных сантиметров, и ни одна дробная клетка не потерялась при подсчёте.

вычитание фигур. Квадрат со стороной $a = 10 \text{ см}$ имеет площадь $S_1 = 100 \text{ см}^2$, которую находят по формуле площади квадрата.

Внутри него вырезан круг радиусом $r = 3 \text{ см}$, и по формуле площади круга получаем $S_2 = \pi r^2 \approx 28{,}3 \text{ см}^2$ при $\pi \approx 3{,}14$.

Сначала находят обе площади отдельно, а затем берут разность между ними: $S = S_1 - S_2 \approx 100 - 28{,}3 = 71{,}7 \text{ см}^2$ — это и есть искомый итоговый результат задачи.

Частые ошибки

• Забывают учитывать половинки клеток и считают только целые, занижая площадь.
• При вычитании фигур путают порядок и вычитают большую площадь из меньшей.
• Разбивают контур так, что части фигуры накладываются или остаются пропуски.

Коротко

Площадь закрашенной части определяется общей идеей: разбить контур на простые фигуры или найти разность площадей целой и вырезанной части. Как найти площадь закрашенной фигуры в конкретной задаче — подсказывает её форма: клетки и прямые линии считают и складывают, а дугу учитывают отдельной формулой сектора или сегмента.