Как найти промежутки знакопостоянства функции по уравнению

Как найти промежутки знакопостоянства функции по уравнению? Сначала решают уравнение f(x) = 0 и находят все корни — точки, где функция обращается в нуль. Эти корни разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых знак функции не меняется. В каждом промежутке берут произвольную пробную точку, подставляют её в f(x) и по знаку результата определяют знак всей функции на этом промежутке.

$f(x)=0$

Разбор по случаям

Примеры

Квадратный трёхчлен с двумя корнями. Дано уравнение $f(x)=x^2-5x+4=0$. Его корни: $x_1=1$ и $x_2=4$. Они делят числовую ось на три промежутка. Берут пробные точки: при $x=0$ получают $f(0)=4>0$, при $x=2$ получают $f(2)=(2-1)(2-4)=-2<0$, при $x=5$ получают $f(5)=(5-1)(5-4)=4>0$.

Значит, $f(x)>0$ при $x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty)$, а $f(x)<0$ при $x\in(1;4)$.

Дробно-рациональная функция. Дано уравнение $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}=0$. Числитель равен нулю при $x=2$, а знаменатель — при $x=-1$, где функция не определена. Эти точки делят ось на три промежутка. При $x=-2$ получают $f(-2)=4>0$, при $x=0$ получают $f(0)=-2<0$, при $x=3$ получают $f(3)>0$.

Значит, $f(x)>0$ при $x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$, а $f(x)<0$ при $x\in(-1;2)$.

Частые ошибки

• Включают точку разрыва знаменателя в границу промежутка так же, как обычный корень, хотя там функция вообще не определена.
• Забывают, что в точке корня чётной кратности знак функции не меняется, и всё равно чередуют знаки через эту точку.
• Подставляют пробную точку не в саму функцию f(x), а только в один из множителей, и делают вывод только по нему.

Коротко

Как найти промежутки знакопостоянства функции по уравнению — решить f(x) = 0, отметить корни и точки разрыва на числовой оси, а затем пробными точками определить знак функции на каждом получившемся промежутке. Ответ записывают как объединение промежутков, где f(x) больше нуля, и отдельно — где меньше нуля, а точки корней и разрывов в ответ не включают.