Как найти коэффициент c в квадратичной функции

Как найти коэффициент c в квадратичной функции y = ax² + bx + c? Проще всего подставить x = 0: тогда ax² и bx обращаются в нуль, и y = c, то есть c — это значение функции в точке пересечения с осью Oy. Если известен график, c читают прямо по точке пересечения параболы с осью ординат. Если известны значения функции в других точках, c находят, подставив координаты точки и решив уравнение относительно c.

$y = ax^2+bx+c,\quad c = y(0)$

Разбор по случаям

Примеры

Функция задана точкой графика. Дана функция $y = x^2 - 2x + c$, известно, что график проходит через точку $(3, 4)$.

Подставляют координаты в уравнение: $4 = 3^2 - 2\cdot 3 + c = 9 - 6 + c = 3 + c$.

Отсюда получают $c = 1$. Функция принимает окончательный вид $y = x^2-2x+1$, и её график пересекает ось Oy в точке $(0, 1)$.

Функция задана через корни. Квадратичная функция имеет корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$, а коэффициент $a = 1$.

Раскрывают скобки: $y=(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6$.

Значит, коэффициент равен $c = a x_1 x_2 = 1\cdot 2\cdot(-3) = -6$, что совпадает со свободным членом полученного многочлена.

Частые ошибки

• Путают коэффициент c со свободным членом уравнения через корни и забывают домножить его на коэффициент a.
• При подстановке точки в уравнение допускают ошибку знака при раскрытии скобок с отрицательным значением x.
• Забывают, что c — это значение функции именно при x = 0, а не координата вершины параболы.

Коротко

Как найти коэффициент c в квадратичной функции — подставить x = 0 в формулу функции или подставить известную точку графика и решить уравнение относительно c. Геометрически c — это ордината точки, где парабола пересекает ось Oy.