Как найти собственные векторы матрицы

Чтобы найти собственные векторы, сначала решают характеристическое уравнение $\det(A - \lambda E) = 0$ и получают все собственные значения $\lambda$.

Отвечая на вопрос, как найти собственные векторы матрицы, для каждого найденного $\lambda$ отдельно решают однородную систему $(A - \lambda E)\vec{v} = 0$, и её ненулевое решение и есть искомый вектор.

Для диагональной или треугольной матрицы значения $\lambda$ читают прямо с главной диагонали, а для остальных случаев корни находят через решение квадратного или кубического уравнения.

Разбор по случаям

Примеры

Матрица 2×2 общего вида. Дана матрица $A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}$, требуется найти её собственные векторы.

Характеристическое уравнение получают из условия $\det(A - \lambda E) = 0$: $(2-\lambda)^2 - 1 = 0$, откуда $\lambda_1 = 1$ и $\lambda_2 = 3$. Для $\lambda_1 = 1$ система даёт $v_1 + v_2 = 0$, значит подходит вектор $(1;\,-1)$. Для $\lambda_2 = 3$ уравнение системы $-v_1 + v_2 = 0$ даёт вектор $(1;\,1)$. Оба результата проверяют подстановкой в равенство $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$, и оно выполняется для каждой пары.

Диагональная матрица. Дана диагональная матрица $A = \begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 5\end{pmatrix}$, и нужно найти её собственные векторы без лишних вычислений.

Поскольку матрица диагональная, собственные значения читают сразу с главной диагонали: $\lambda_1 = 3$ и $\lambda_2 = 5$, характеристическое уравнение решать не требуется вовсе. Собственные векторы в этом случае — координатные орты плоскости: для $\lambda_1 = 3$ подходит вектор $(1;\,0)$, а для $\lambda_2 = 5$ — вектор $(0;\,1)$. Проверка подстановкой в $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ выполняется мгновенно, без единого вычисления.

Частые ошибки

• Забывают знак минус перед λ на диагонали при составлении характеристического уравнения.
• Находят только одно собственное значение и не решают систему для остальных корней уравнения.
• Записывают в ответ нулевой вектор, хотя однородная система всегда должна давать ненулевое решение.

Коротко

Значит, чтобы понять, как найти собственные векторы матрицы, работают в два шага: сначала все λ из характеристического уравнения, потом вектор для каждого λ отдельно. Кратный корень уравнения означает, что решений может быть не одно направление, а целая плоскость.