Как найти среднее квадратичное отклонение

Как найти среднее квадратичное отклонение: сначала находят среднее арифметическое всех чисел, затем для каждого числа вычисляют отклонение от среднего и возводят его в квадрат. Квадраты отклонений складывают и делят на количество значений — получают дисперсию. Из дисперсии извлекают квадратный корень и получают среднее квадратичное отклонение, которое показывает, насколько сильно данные разбросаны вокруг среднего. Чем меньше это число, тем ближе значения расположены друг к другу.

$\sigma = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Генеральная совокупность. Дан набор чисел $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$, всего $n = 8$ значений.

Среднее арифметическое равно $\bar{x} = \dfrac{40}{8} = 5$.

Сумма квадратов отклонений от среднего равна $32$.

Среднее квадратичное отклонение равно $\sigma = \sqrt{\dfrac{32}{8}} = \sqrt{4} = 2$.

Проверка: дисперсия $D = \sigma^2 = 4$, что совпадает с суммой квадратов отклонений, делённой на восемь.

Выборочное отклонение. Дана выборка из трёх значений $3, 5, 7$.

Среднее арифметическое равно $\bar{x} = \dfrac{15}{3} = 5$.

Сумма квадратов отклонений равна $8$.

Для выборки делят не на $n$, а на $n-1$: $\sigma = \sqrt{\dfrac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$.

Для реальных выборок такая формула обычно даёт чуть большее значение отклонения.

Частые ошибки

• Забывают возвести отклонения в квадрат и складывают их напрямую, из-за чего сумма получается равной нулю.
• Делят сумму квадратов отклонений на количество значений там, где для выборки нужно делить на n минус один.
• Путают дисперсию со средним квадратичным отклонением и забывают извлечь квадратный корень в конце вычислений.

Коротко

Как найти среднее квадратичное отклонение — найти среднее арифметическое, посчитать квадраты отклонений от него, разделить сумму на число значений и извлечь квадратный корень. Для выборки вместо всей совокупности сумму квадратов делят на n минус один.